tugas statistika

TUGAS STATISTIKA

PROBABILITAS

Tujuan statistika adalah membuat kesimpulan mengenai populasi yang didasarkan pada informasi yang dikandung dalam sampel. Probabilitas adalah mekanisme yang memungkinkan kita untuk menggunakan informasi parsial yang terkandung dalam suatu himpunan data sampel untuk menyimpulkan keadaan yang sebenarnya dari himpunan data yang lebih besar, yaitu populasi. Probabilitas memberikan mekanisme yang diperlukan untuk mengambil kesimpulan tentang populasi atas dasar bukti sampel.

RUANG SAMPEL

Data diperoleh baik dari pengamatan kejadian-kejadian yang tak dapat dikendalikan ataupun  dari percobaan-percobaan yang dikendalikan dalam laboratorium. Untuk menyederhanakan terminologinya, kita mencari kata yang dapat diterapkan pada kedua metode pengumpulan data, kemudian kita definisikan istilah eksperimen. Suatu eksperimen adalah suatu proses dimana suatu pengamatan dicatat.

Dalam realitas, sebuah populasi adalah sebuah himpunan dari pengamatan-pengamatan yang berhubungan dengan himpunan dari satuan-satuan percobaan yang menjadi perhatian. Karena itu, suatu populasi secara konseptual dapat dihasilkan dengan mengulangi sebuah eksperimen. Sebuah peristiwa yang tidak dapat diuraikan disebut peristiwa sederhana. Misalnya, jika sebuah dadu dilemparkan , kita akan mengamati 1, 2, 3, 4, 5, atau 6, tetapi kita tidak mungkin dapat melihat lebih dari satu peristiwa sederhana pada waktu yang sama. Maka sebuah daftar dari peristiwa sederhana memberikan sebuah perincian semua hasil yang mungkin dari percobaan.

Akan sangat tepat/baik jika kita dapat menyusun sebuah model untuk sebuah eksperimen yang dapat digambar secara grafik. Kita melakukannya dengan menciptakan suatu hubungan antara peristiwa-peristiwa sederhana dan suatu himpunan titik-titik. Untuk setiap peristiwa sederhana kita tentukan sebuah titik, yang disebut titik sampel. Himpunan dari semua titik sampel untuk suatu eksperimen disebut ruang sampel.  Sebuah peristiwa adalah sebuah kumpulan khusus dari titik-titik sampel. Sebuah peristiwa dapat dinyatakan dalam diagram venn dengan melingkari titik-titik sampel dalam peristiwa tersebut.

PROBABILITAS DARI SEBUAH PERISTIWA

Jika sebuah peristiwa diulangi sebanyak N kali dalam jumlah yang besar dan peristiwa A terlihat n_A kali, maka probabilitas A adalah : P(A) =

Penjelasan praktis tentang arti propabilitas suatu pandangan yang dianut oleh kebanyakan yang bukan ahli statistik disebut frekuensi relatif pengertian probabilitas. Misalnya kita akan mengasumsikan bahwa sebuah populasi besar dari lemparan dadu , bilangan-bilangan 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 seharusnya tampil mendekati frekuensi relatif yang sama. Artinya kita asumsikan bahwa dadu memiliki keseimbangan yang sempurna. Bahwa probabilitas dari titik-titik sampel akan sangat mendekati 1/6.

Untuk setiap titik dalam ruang sampel kita tetapkan sebuah bilangan yang disebut probabilitas dari E_i yang dinyatakan oleh simbol P(E_i), sehingga

1.         0 <  P(E_i) < 1,untuk semua i

2.        

Kedua syarat yang diletakkan pada probabilitas dari titik-titik sampel adalah perlu agar model tersebut sesuai dengan pengertian frekuensi relatif kita untuk probabilitas. Maka kita mengisyaratkan bahwa sebuah probabilitas lebih besar daripada atau sama dengan 0 dan kuran dari atau sama dengan satu dan bahwa jumlah dari probabilitas pada seluruh ruang sampel S adalah sama dengan 1. Probabilitas dari peristiwa A sama dengan jumlah dari probabilitas titik-titik sampel di A.

Contoh :

hitunglah probabilitas dari peristiwa A untuk eksperimen pelemparan dadu!

Penyelesaian :

Peristiwa A , “yaitu mengamati bilangan ganjil”, yang meliputi titk sampel E₁, E₃, E₅, maka :

P(A)=P(E₁)+P(E₃)+P(E₅)= (1/6)+(1/6)+(1/6) = ½

Petunjuk bagaimana memecahkan soal

Untuk menghitung probabilitas dari suatu peristiwa menggunakan pendekatan titik sampel, ikutilah petunjuk-petunjuk berikut ini :

1.    Gunakan langkah-langkah berikut untuk menghitung probabilitas sebuah peristiwa dengan menjumlah probabilitas dari titik-titik sampel

            a.         definisikan eksperimennya

            b.         identifikasi peristiwa sederhana yang khas. Catat peristiwa-peristiwa             sederhana yang berkaitan dengan percobaan dan ujilah masing-masing untuk memastikan bahwa mereka tak dapat diuraikan. Ini menentukan ruang sampel

            c.         tetapkan probabilitas yang wajar untuk titik-titik sampel di S, dengan memastikan bahwa 0< P(E_i)< 1

            d.         definisikan peristiwa yang perlu ditelaah A, sebagai kumpulan khusus dari titik-titik sampel.

            e.         dapatkan P(A) dengan menjumlahkan probabilitas dari titik-titik sampel di A

2.         Apabila titik-titik sampel mempunyai probabilitas yang sama, maka jumlah dari probabilitas dari titk-titik sampel di A, yaitu langkah e, dapat diperoleh dengan menghitung titik-titik di A dan mengalikannya dengan probabilitas per titik sampel.

3.         Dengan menghitung probabilitas dari suatu peristiwa dengan menggunakan prosedur lima langkah yang diruaikan dibagian 1 merupakan cara yang sistematis dan akan mengarah kepada suatu pemecahan yang tepat jika semua langkah diikuti secara baik.

PERISITWA MAJEMUK (GANDA)

Peristiwa majemuk dibentuk oleh suatu susunan dari dua atau lebih peristiwa. Komposisinya terjadi dalam dua cara, yaitu suatu gabungan (union) atau suatu perpotongan (intersection) atau kombinasi dari keduanya.

Misalkan A dan B adalah dua peristiwa dalam ruang sampel S. Gabungan (union) dari A dan B adalah peristiwa yang memuat semua titik-titk sampel dari A atau di B atau kedua-duanya. Kita nyatakan gabungan dari A dan B dengan simbol AUB.

Misalkan A dan B adalah dua peristiwa dalam ruang sampel S. Perpotongan dari A dan B ialah peristiwa yabg disusun oleh semua titik-titik sampel yang terletak di keduanya (A

Contoh :

dua uang logam dilantunkan, tentukan :

Peristiwa A : paling tidak satu gambar

Peristiwa B : paling tidak satu rupiah

Penyelesaian :

Titik-titik sampel :

E1 : HH

E2 : HT

E3 : TH

E4 : TT

Peristiwa A: E1,E2,E3

Peristiwa B: E2, E3, E4

Peristiwa AB: E2, E3

Peristiwa AUB : E1, E2, E3, E4

Perhatikan bahwa AUB = S, yang merupakan ruang sampel dan dengan demikian pasti terjadi

HUBUNGAN PERISTIWA

Dalam bagian ini kita akan mendefinisikan tiga hubungan antara peristiwa-peristiwa yaitu komplementer, bebas dan saling lepas. Pelengkap atau komplemen dari suatu peristiwa A adalah himpunan semua titik-titik sampel yang ada dalam ruang sampel S tetapi tidak di A. Dua peristiwa A dan B dikatakan bebas jika baik  P(AIB)= P(A) maupun P(BIA)= P(B), kalau tidak peristiwa-peristiwa tersebut tergantung atau dependent.

Sedangkan dua peristiwa A dan B adalah salaing lepas jika peristiwa AB tidak mengandung titik-titik sampel.

DUA HUKUM PROBABILITAS DAN KEGUNAANNYA

Hukum perkalian probabilitas

Jika diketahui dua peristiwa A dan B, maka probabilitas dari irisan perpotongan AB adalah 

P(AB)= P(A)P(BIA)

          = P(B)P(AIB)

Jika A dan B bebas, maka P(AB)= P(A)P(B)

Hukum pertambahaan dari  probabilitas

Probabilitas dari suatu gabungan AUB adalah : P(AUB)= P(A)+P(B)-P(AB)

Jika A dan B saling lepas, maka : P(AB)=0 dab P(AUB)=P(A)+P(B)

Petunjuk-petunjuk dalam penyelesaian masalah

Untuk menghitung probabilitas dari suatu peristiwa dengan menggunakan pendekatan susuna peristiwa, ikutilah garis-garis petunjuk berikut ini :

1.         gunakan langkah-langkah berikut ini untuk menghitung probabilitas suatu peristiwa

            a.         definisikan eksperimennya

            b.         gambarkan secara jelas bentuk dari titik-titik sampel

            c.         tuliskan sebuah persamaan yang mengungkapkan peristiwa yang perlu diperhatikan

            d.         terapkan hukum-hukum pertambahan dan perkalian probabilitas terhadap langkah c dan temukan P(A).

2.         hati-hatilah dengan langkah c. Anda sering dapat membentuk banyak susunan yang akan sama dengan peristiwa A. Sisanya ialah membentuk suatu susunan dimana semua probabilitas yang muncul dalam langkah d akan dapat diketahui. Maka anda harus menggambarkan hasil-hasil dari langkah d dalam berbagai susunan dan memilih satu dimana komponen probabilitasnya diketahui.

3.         tulislah selalu huruf-huruf untuk menyatakan peristiwa-peristiwa yang diuraikan dalam suatu latihan. Kemudian tulislah probabilitasnya yang diberikan dan hubungkan probabilitas ini dengan peristiwa-peristiwa.

HUKUM BAYES

Misalkan B adalah suatu peristiwa dan B” adalah komplimennya. Jika peristiwa lain A terjadi, maka :

P(BIA)=

Misalnya , kita mungkin menaruh perhatian terhadap probabilitas bersyarat P(AIB), dimana A adalah peristiwa “seorang wiraniaga asuransi menjual 15 polis” dan B adalah peristiwa “penjual menghubungi 40 pelanggan”. Misalkan kita mengetahui setelah kenyataan bahwa penjual telah menjual 15 polis minggu lalu, tetapi kita tidak mengetahui berapa banyak pelanggan yang telah dihubungi. Artinya, bagaimana kita dapat mencari probabilitas bahwa beberapa peristiwa B tertentu merupakan penyebab diantara sekian banyak penyebab yang mungkin dari dampak akhir A. Probabilitas yang dihitung P(BIA) disebut probabilitas kemudian (posterior) dari peristiwa B karena adanya informasi yang dikandung dari peristiwa A. Probabilitas tak bersyarat P(B) dan P(B”) disebut probabilitas yang awalprior) dari peristiwa-peristiwa B dan B. Artinya hukum bayes memutahirkan atau memperbaiki probabilitas awal P(B) dengan memasukkan kedalam model informasi yang diamati yang terdapat didalam peristiwa A.

VARIABEL ACAK

Sebuah variabel y adalah variabel acak jika nilai-nilai yang diasusikan oleh y yang bekaitan dengan bermacam-macam hasil dari suatu percobaan, merupakan kesempatan atau peristiwa acak.

Misalnya, pengambilan sampel dari 20 pelanggan yang ditanya apakah mereka lebih menyukai desain kemasan A atau B. Jumlah pelanggan yang menunjukkan lebih menyukai desain A dapat dipandang sebagai variabel y yang mengasumsikan sebarang nilai bilangan antara 0,1,2,3,.............20.

MENGHITUNG TITIK-TITIK SAMPEL (FAKULTATIF)

Tiga aturan sederhana, yang pertama yang dikenal sebagai aturan mm, diterapkan terhadap situasi dimana anda mencari beberapa cara untuk dapat membentuk pasangan-pasangan dari benda yang menjadi objek, dimana setiap objeknya dipilih masing-masing dari dua kelompok yang berbeda. Sebagai contoh, sandaikan bahwa empat perusahaan mempunyai lowongan kerja dimasing-masing dari ketiga bidang : penjualan, mamfactur, dan personalia, berapa banyak pekerjaan yang tersedia untuk anda? Anda dapat melihat bahwa anda mempunyai dua himpunan objek : perusahaan(empet) dan jenis pekerjaan (tiga). Oleh karena itu terdapat tiga pekerjaan di masing-masing dari keempat perusahaan , atau (4)(3)=12 kombinasi pekerjaan.

Permutasi

Suatu pengaturan yang berurutan dari r objek yang berlainan dinamakan permutasi. Jumlah cara yang dapat anda lakukan untuk mengatur n objek yang berbeda dengan pengambilan r pada waktu yang sama ialah :

Pⁿ_r =n(n-1)(n-2)...(n-r+1)=

Contoh : tiga tiket undian diambil dari 50 tiket. Berapa banyak titik-titik sampel yang berkaitan dengan eksperimen itu?

Penyelesaian: karena n=50 dan r=3 maka P⁵⁰₃ =

Kombinasi

Jumlah kombinasi dari n objek dengan pengambilan r pada waktu yang sama dinyatakan oleh simbol Cⁿ_r . jumlah kombinaso yang berbeda-beda yang dapat dibentuk dari n objek yang berbeda-beda dengan pengambilan r pada waktu yang sama adalah Cⁿ_r =

Contoh : sebuah radio dapat dibeli dari 5 toko penyalur. Dengan berapa cara dapat dipilih tiga toko dari lima yang ada?

Penyelesaian :  C⁵₃ =

PETUNJUK PENYELESAIAN SOAL

1.         lihat masalahnya dan perhatikan apakah suatu peristiwa sederhana terbentuk dengan

            a.         pemilihan elemen-elemen dari masing-masing dua atau lebih himpunan

            b.         pemilihan r elemen dari sebuah himpunan tunggal n elemen

2.         jika situasinya adalah 1b, tentukan apakah harus menggunakan permutasi atau kombinasi.

3.         jika mengalami kesulitan menggunakan aturan perhitungan yang sesuai untuk masalah yang mengandung titik sampel dalam jumlah yang besar, susunlah masalahnya dalm bentuk miniatur sehingga anda dapat menghitungnya secara manual

LATIHAN SOAL

1. lima sekretaris dipilih dari 25 orang untuk membentuk suatu kelompok sekretariat. Gunakan aturan kombinasi untuk memberikan jumlah total dari sekretariat yang berlainan yang dapat dibentuk.

Jawaban

C =

2.  presiden direktur, wakil presiden, sekretaris, dan bendaharawan harus dipilih dari sepuluh calon. Gunakan aturan permutasi untuk memberikan jumlah cara bagaimana akan diisi.

Jawaban

P¹⁰₄=

3.  direktur personalia suatu perusahaan telah mengidentifikasi sepuluh individu sebagai calon yang terampil untuk tiga kedudukan managerial training yang ingin diisi perusahaan. Berapa jumlah kombinasi yang berlainan dari sepuluh individu yang dapat dipilih untuk tiga kedudukan.

Jawaban

C = C =